LU01c - Stellenwertsysteme

Stellenwertsysteme

Alle Stellenwertsystem basieren auf den gleichen Regeln. Das Wichtigste ist dabei die Basis:

  • Die Basis legt fest, wie viele Ziffern-Symbole das System kennt.
  • Welcher Faktor für den Wert der Stellen angewandt wird.

Um die Systeme zu unterscheiden, schreiben Sie immer die Basis tiefgestellt neben die Zahl.

  • Binäre Zahlen können auch durch ein b nach der Zahl identifiziert werden.
  • Hexadezimale Zahlen werden häufig durch ein x nach der Zahl identifiziert.

Eine Zahl ohne Angabe des Systems ist als Dezimalzahl zu interpretieren. Also

  • 1A716 oder 1A7x
  • 101010112 oder 10101011b
  • 4358

Dezimalsystem

Dezimalsystem

Wir betrachten zunächst das Ihnen vertraute Dezimalsystem im Detail. Daraus können wir Schlüsse für andere, in der Informatik relevante Systeme ziehen.

Das Dezimalsystem (10er System),

  • kennt 10 verschiedene Zahl-Symbole,
    • In Europa verwenden wir Symbole die aus Indien über den arabischen Raum kamen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
      Sie werden deshalb als arabische Ziffern bezeichnet.
    • Je nach Gebiet werden andere Symbole verwendet.
  • hat die Basis 10 für die Stellen einer Zahl.
    • Die Stelle direkt vor dem Dezimalpunkt hat den Wert 100 bzw. 1.
    • Nach links hat jede Stelle den zehnfachen Wert der davorliegenden Stelle.
    • Nach rechts hat jede Stelle einen Zehntel des Werts der davorliegenden Stelle.
Ziffer 7 3 4 . 2 5
Wert 102 101 100 10-1 10-2
100 10 1 0.1 0.01
  • Jede Ziffer wird mit dem Wert seiner Position multipliziert.
  • Alle Produkte (Ziffer * Wert) werden addiert.
734.25 = 7*100 + 3*10 + 4*1 + 2*0.1 + 5*0.01

Binärsystem

Das Binärsystem oder Dualsystem verwendet die Basis 2. Daraus ergibt sich:

  • Es gibt 2 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (z.B. 0 und 1)
  • Der Wert der Positionen verdoppelt sich von rechts nach links, bzw. halbiert sich von links nach rechts.
Ziffer 1 1 0 1 0 . 1 0 1
Wert 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

11010.1012 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 + 1*(1/2) + 0*(1/4) + 1*(1/8)

Oktal

Das Oktalsystem verwendet die Basis 8.

  • 8 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
  • Der Wert der Positionen erhöht sich um den Faktor 8 (bzw. wird um den Faktor 8 verkleinert).
Ziffer 4 0 6 . 4 1
Wert 82 81 80 8-1 8-2
64 8 1 1/8 1/64

406.418 = 4*64 + 0*8 + 6*1 + 4*(1/8) + 1*(1/64)

Im Oktalsystem werden jeweils 3 binäre Stellen (Bits) zusammengefasst. Dadurch lassen sich die Zahlen kompakter schreiben. Gleichzeitig ist die Umrechnung zwischen Binärsystem und Oktalsystem relativ einfach.

Hexadezimal

Das Hexadezimal-System verwendet die Basis 16.

  • 16 unterschiedliche Symbole für die Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
  • Der Wert der Positionen erhöht sich um den Faktor 16 (bzw. wird um den Faktor 16 verkleinert).
Ziffer 3 A 2 . 0 C
Wert 162 161 160 16-1 16-2
256 16 1 1/16 1/256

3A2.0C16 = 3*256 + 10*16 + 2*1 + 0*(1/16) + 12*(1/256)

Das Hexadezimalsystem (kurz Hex) fasst jeweils 4 binäre Stellen (Bits) zusammen. Damit können Sie ein Byte (8 Bits) mit zwei hexadezimalen Ziffern abbilden.

Zum Schmunzeln: Echte Programmierer haben Mühe zwischen Halloween (31. Oktober) und Weihnachten (25. Dezember) zu unterscheiden. Denn 31 Okt = 25Dez.

2022/12/26 06:16 · msuter